傅里叶变换其实并不难


用数学公式的角度理解傅里叶变换

我们觉得傅里叶变换太难,除了它的概念不好理解之外,最重要的原因是高数没有学好,最基本的积分微分三角函数都不理解,这怎么能学好呢?比如书上给你一个最简单的公式,因为别人觉得这个公式太简单了,只要稍微学过高数的人都能推导出来,但是你的高数在一年级是没有好好学,到了二年级就基本全部忘光了。这学期来学习信号与系统当然难。不过没关系,本文将带你用最基本的数学公式来理解最复杂的傅里叶变换,包括指数形式和三角形式的傅里叶变换。

什么是完备的三角正交基础

${0,1, \sin \mathrm{x}, \cos \mathrm{x}, \sin 2 \mathrm{x}, \cos 2 \mathrm{x}, \sin 3 \mathrm{x}, \cos 3 \mathrm{x}, \sin 4 \mathrm{x}, \cos 4 \mathrm{x} \ldots \ldots \ldots \ldots .}$在这个集合中任意两个函数不同的函数在一个周期内(如$(-\pi, \pi)$)的上下定积分为0。$\int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{1}(t) f_{2}(t) d t=0$。则称$f_{1}(t) f_{2}(t)$在区间$\left(t_{1}, t_{2}\right)$内正交(内即为0)
举一个最简单的例子:
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cdot \cos x d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{2} d x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sin 2 x d x=0$$

$sin 2 x$是奇函数在$(-\pi, \pi)$上的积分为0.其他的都是一样的。我就不多举例子了。

傅里叶级数的公式的推导

我们知道任意一个周期函数$f(t)$都能通过无限三角函数叠加得到。这一点我默认大家都会。那么这句话是不是可以当翻译为
$$f(\mathrm{t})=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \operatorname{cosn} \omega \mathrm{t}+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n} \sin n \omega t$$
但是大家感觉这个公式好像和书本上的不大一样啊???
其实书本上的公式就是这个式子变形过去的,但是书上并没有给出变形的过程,而是直接给出变了形之后的傅里叶级数的三角形式。搞的大家不知所云。看下面:


这样就得到书上得公式了。
现在我们来求$a_{0}, a_{n}, b_{n}$

  • 求$a_{0}$;两边同时在一个周期内积分

可得$$a_{0}=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f(t) d t$$

  • 求$a_{n}$;两边同时乘以$\cos m \omega t$

$$\int_{t}^{t+T} f(t) \cdot \cos m \omega t d t=\int_{t}^{t+T} a_{0} \cos m \omega t d t+\int_{t}^{t+T} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \omega t \cdot \cos m \omega t d t+\int_{t}^{t+T} \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \omega t \cdot \cos m \omega t d t$$

当$n \neq m$时,$\cos n \omega t$与$\cos m \omega t$正交为0
当$n=m$时,$\cos n \omega t$与$\cos m \omega t$不正交不为0
$$\int_{t}^{t+T} f(t) \cdot \cos m \omega t d t=\int_{t}^{t+T} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \omega t \cdot \cos m \omega t d t=a_{n} \int_{t}^{t+T} \sum_{n=1}^{\infty} \cos ^{2} n \omega t d t=\frac{T}{2} a_{n}$$
所以
$$a_{n}=\frac{2}{T} \int_{t}^{t+T} \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \cos n \omega t d t$$

  • 求$b_{n}$;两边同时乘以$\cos m \omega t$
    方法和求$a_{n}$的方法一模一样。这里就不重复了,自己动手试一下。
    至此,我们就全部得到了傅里叶级数的三角形式了。
    下面的这两种写法都对,一般我们写第二种。

指数形式的傅里叶级数

上面我们知道了三角形式的傅里叶级数,下面我们来看看指数形式的傅里叶级数了

欧拉公式

$$e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$$
别的不多说我们先来证明这个公式,另外我们在欧拉公式的时候要记上面那个公式,在此基础上会变形就可以了。
要推倒这个公式就必须会高数中的泰勒公式,如果你不知道泰勒公式,建议你去翻一下课本。
证明:
$$e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots \ldots$$

$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !} \dots$$

$$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !} \dots \dots$$
这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式,其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式在$e^{x}$的展开式中把x换成$\pm i x$

$$(\pm i)^{2}=-1,(\pm i)^{3}=\mp i,(\pm i)^{4}=1 \ldots \ldots$$

$$e^{\pm i x}=1 \pm \frac{i x}{1 !}-\frac{x^{2}}{2 !} \mp \frac{i x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !} \dots \dots=\left(1-\frac{x^{2}}{2 !}+\ldots \ldots\right) \pm i\left(x-\frac{x^{3}}{3 !} \dots \dots\right)$$

所以可得:$e^{\pm i x}=\cos x \pm i \sin x$
由此可得:$e^{i x}=\cos x+i \sin x$ 所以:$e^{-i x}=\cos x-i \sin x$
由上面的式子可以推导出:

$$\sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}$$

$$\cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}$$

那么将这两个式子带去傅里叶级数的三角形式:

求$F_{\mathrm{n}}$的方法很简单,直接把在最上面求得$a_{n}, b_{n}$,带入到$F_{\mathrm{n}}$中就求出来了。

至此,傅里叶级数的三角形式和指数形式都推导出来了。这些式子都要自己一步一步推导出来,只有把这个公式理解了,才能进行后续的学习,要不然后面学习傅里叶变换你根本搞不清楚。比如,傅里叶级数是求周期信号的,傅里叶变换是求非周期信号的。因为非周期信号不好求,所以我们学了很多的傅里叶变换对,学了傅里叶变换的性质,当然学这些性质的目的一方面是为了我们更好的理解傅里叶变换,另一方面是为了我们能够方便我们利用数学公式来求解非周期信号的傅里叶变换和频谱。


文章作者: 小师弟
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